개요

수학을 왜 배워야 하는지 누구나 한 번쯤 생각해 보았을 것이다. 나도 나름대로 생각해 온 내용을 메모장에 적어 왔다.

이 포스팅에는 그러한 생각을 정제해서 옮길 예정이다.

주로 수학이란 무엇인가, 그리고 수학의 취지, 수학적 사고의 정체 등을 정리한다.

최대한 수학 저서를 집필하는 방식처럼 공리적으로 기술하려고 하지만, 능력이 부족해 잘되지 않을 수도 있다.

수학의 정의

  1. 수란 무엇인가?

    Coming soon

  2. 수학이란 무엇인가?

    Coming soon

수학의 취지

  1. 현상을 설명하는 가장 강력하고 엄밀한 도구이기 때문에

    굉장히 추상적인 취지이다. 먼저 현상이란 무엇인지 살펴보자. 현상이란 관측 가능한 우주에서 발생한 물리적 사건 중 인간이 경험한 사건이다. 인간은 그 사건, 즉 현상 위에 감각, 해석, 언어를 통해 의미 세계를 구성하며 살아간다. 참고로 이성이란 현상을 감각한 후 발생하는 뇌 속 정보 처리 패턴이다.

    현상은 다시 크게 두 가지로 분류된다. 희소성을 전제로 하지 않는 본능이나 측은지심 등의 행동을 포함한 자연 현상과 희소성을 전제로 하는 경제 주체로서의 인간 행동인 사회 현상이 있다. 그러한 현상들을 설명하는 가장 좋은 도구는 학문이다. 학문은 다양하지만, 각각의 현상을 근원적으로 설명하는 학문은 전자의 경우 물리학, 후자의 경우 경제학이라고 생각한다.

    물리학이 자연 현상을 설명하는 방법 모든 자연 현상은 입자나 장의 운동으로 설명할 수 있다. 운동이란 시간에 따른 위치의 변화이다. 입자의 운동은 강력, 약력, 중력, 전자기력과 같은 힘을 나타내는 운동 방정식 F=maF=ma로 설명할 수 있다. 장의 운동은 장 방정식으로 설명할 수 있다. 뉴턴 역학은 입자나 장의 위치와 속도를 측정하고 정할 수 있다고 가정하는 역학이다. 하지만 양자 역학에서는 위치와 속도를 동시에 정확히 정할 수 없으며 확률적으로 다룬다. 이는 고전 역학에서는 입자가 정확한 x(t)x(t)와 v(t)v(t)를 가진다고 보지만, 양자 역학에서는 입자의 상태를 확률 분포로 기술한다는 뜻이다. 또한 '관측'이라는 행위 자체가 필연적으로 대상에 영향을 줄 수 있다.

    경제학이 사회 현상을 설명하는 방법 모든 사회 현상은 인간의 선택과 행동으로 설명할 수 있다. 인간은 여러 선택지 중 순효용이 가장 큰 것을 고른다. 여기서 순효용이란 효용 - 비용이다. 즉, 효용은 최대화하고 비용은 최소화하는 선택을 한다는 관점에서 사회 현상을 설명할 수 있다. 따라서 어떤 선택에서 효용 함수가 최댓값을 갖거나 비용 함수가 최솟값을 갖는다면 인간은 그 선택을 한다고 수학적으로 표현할 수 있다.

    이처럼 물리학과 경제학에서는 수학을 통해 개념을 정의하고 추상화한다. 이를 수학적 모델링이라고 한다. 그 이유는 수학적 모델링을 통해 자연어가 지닌 모호함에서 벗어나 보편성과 엄밀성을 획득할 수 있기 때문이다.

    경제학 예시 — 소비자의 선택

    자연어로는 이렇게 말할 수 있다.

    사람은 자신이 가진 돈 안에서 자신이 가장 선호하는 상품 조합을 선택한다.

    그런데 여기에는 모호한 말이 많다. 선호한다는 게 무엇인지, 가장 좋다는 게 무엇인지, 돈 안에서라는 게 정확히 어떤 조건인지 명확하지 않다. 경제학에서는 이를 수학적 대상으로 정의한다.

    소비할 수 있는 상품 묶음과 가격을 다음과 같이 정의해 보자.

    x=(x1,x2,…,xn)∈Xx = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in X p=(p1,p2,…,pn)∈Pp = (p_1, p_2, \dots, p_n) \in P

    그리고 소득을 mm이라고 하고, 소비자가 상품 묶음 xx에서 얻는 효용을 다음과 같이 정의한다.

    U(x)U(x)

    그러면 “돈 안에서 가장 선호하는 것을 선택한다”는 자연어 문장은 다음과 같이 바뀐다.

    x∗=argmax⁡xU(x)x^* = \operatorname*{argmax}_{x} U(x)

    단, 다음의 예산 제약을 만족해야 한다. 상품 묶음과 가격 벡터의 내적, 즉 총지출이 소득보다 작거나 같아야 한다.

    p⋅x≤mp \cdot x \leq m

    즉,

    가능한 소비 조합 중에서 예산 제약을 만족하면서 효용을 최대화하는 xx를 선택한다.

    이제 “선호”, “돈 안에서”, “가장 좋은 선택”이라는 모호한 자연어가 각각 utility function, budget constraint, optimization problem이라는 수학적 구조로 바뀐 것이다. 따라서 가격 pp나 소득 mm이 변하면 선택 x∗x^*가 어떻게 변하는지도 논리적으로 분석할 수 있게 된다.

    사회 현상을 기술할 때 자연어로 "사람은 자신에게 가장 이득이 되는 선택을 한다"라고 표현할 수도 있지만, 자연어에서의 "이득", "가장", "선택"은 상황에 따라 모호할 수 있다. 반면 수학에서는 선택 가능한 대상의 집합이 무엇인지, 효용이 무엇인지, 어떤 조건에서 값이 최대가 되는지를 명확하게 정의할 수 있다.

    물리학 예시 — 자유 낙하하는 물체

    자연어로는 이렇게 말할 수 있다.

    물체를 놓으면 중력 때문에 아래로 떨어진다.

    그런데 여기에도 모호한 말이 많다. 아래가 어느 방향인지, 떨어진다는 것이 위치의 어떤 변화인지, 중력이 얼마나 강하게 작용하는지가 명확하지 않다. 물리학에서는 이를 측정 가능한 수학적 대상으로 정의한다.

    위쪽을 양의 방향으로 정하고, 시간 tt에서 물체의 수직 위치를 다음과 같이 정의해 보자.

    x=x(t)x = x(t)

    물체의 질량을 mm, 물체에 작용하는 힘을 FF라고 하면 뉴턴의 운동 법칙은 다음과 같다.

    F=ma=md2xdt2F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}

    지표면 근처에서 공기 저항을 무시하고 중력만 작용한다고 가정하자. 중력 가속도의 크기를 gg라고 하면 중력은 아래쪽으로 작용하므로 다음과 같이 표현된다.

    F=−mgF = -mg

    따라서 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.

    md2xdt2=−mgm\frac{d^2x}{dt^2} = -mg

    질량 mm으로 양변을 나누면 물체의 가속도를 얻을 수 있다.

    d2xdt2=−g\frac{d^2x}{dt^2} = -g

    초기 위치를 x0x_0, 초기 속도를 v0v_0라고 하면 시간 tt에서의 속도와 위치는 각각 다음과 같다.

    v(t)=v0−gtv(t) = v_0 - gt x(t)=x0+v0t−12gt2x(t) = x_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2

    즉,

    공기 저항을 무시할 수 있는 지표면 근처에서 물체의 수직 위치는 시간에 관한 이차함수로 변한다.

    이제 “아래로 떨어진다”, “중력이 작용한다”, “얼마나 빠르게 움직인다”라는 모호한 자연어가 각각 coordinate system, force, velocity and acceleration이라는 수학적 구조로 바뀐 것이다. 따라서 물체가 몇 초 뒤 어디에 있는지, 그때의 속도는 얼마인지, 초기 위치나 초기 속도가 달라지면 운동이 어떻게 변하는지도 정량적으로 예측할 수 있게 된다.

  2. 인류 역사를 통해 증명된 가장 중요한 사고법을 익히기 위해서

    서울대학교 수학교육과의 석민명 교수는 다음과 같이 말했다.

    "우리는 사고를 할 때, 결국 우리는 언어를 통해서 사고를 하고, 그 사고는 그 언어가 가지고 있는 한계의 영향을 받죠. 만약에 우리가 수리적 사고가 가능하다고 하더라도, 자연어를 가지고 하면 우리가 도달할 수 있는 한계는 명확해요. 그런 입장에서 우리가 수학을 배우는 이유는 명확하게 우리가 할 수 있는 여러 가지 사고방식이라고 할까요? 음악적 사고, 문학적 사고, 그중에서 수리적 사고라고 하는, 인류 역사를 통해 증명된 가장 중요한 사고법을 할 수 있는 언어를 배우는 것이죠. 그런데 수학은 철저히 믿음을 배제하고 연역적 논리 체계를 전개해서 결국에는 깨달음이 와요. 수리적 사고의 가장 큰 장점은 현대에 와서 그냥 주장을 하는 게 아니라 치열한 논리 전개를 통해 확신하고, 그 확신에 대한 믿음을 가질 수 있게 하는 것이에요. 자연어는 사실 어려워요. 왜냐하면 중의적이기 때문이에요."

    예를 들어 다음과 같은 현상이 있다고 해 보자.

    "사자가 가까이 오면 인간은 도망친다."

    여기서 이 현상을 어떻게 엄밀하게 분석할 것인가 하는 문제가 생긴다. 첫째, "가까이 온다"는 것은 무엇인가? 둘째, "도망간다"는 것은 무엇인가? 두 표현 모두 자연어만으로는 그 경계가 모호하다. 하지만 3차원 공간에서 사자의 위치 벡터를 a\mathbf{a}, 인간의 위치 벡터를 b\mathbf{b}라고 정의하고, 두 위치 사이의 거리가 10 이하인 것을 다음과 같이 표현해 보자.

    ∥b−a∥≤10\lVert \mathbf{b} - \mathbf{a} \rVert \leq 10

    이 조건을 만족할 때 "사자가 가까이 왔다"라고 정의할 수 있다.

    그리고 사자에서 인간을 향하는 방향, 즉 사자와 인간을 잇는 방향 벡터를 기준으로 인간의 위치가 사자로부터 멀어지는 방향으로 일정 거리 이상 이동하는 것을 "도망간다"고 정의할 수 있다.

    이렇게 하면 "가까이 온다"와 "도망간다"라는 자연어의 모호한 표현을 거리, 방향, 위치 변화와 같이 측정 가능한 대상으로 바꿀 수 있다.

    다른 예를 들어 보자.

    "소라가 많이 움직였다."

    이 문장에서 "많이 움직였다" 역시 모호하다. 시간 tt에서 소라의 위치를 p(t)\mathbf{p}(t), 시간 t+1t+1에서 소라의 위치를 p(t+1)\mathbf{p}(t+1)이라고 하자. 이때 다음 조건을 만족하는 경우를 "소라가 많이 움직였다"라고 정의한다면,

    ∥p(t+1)−p(t)∥≥100\left\lVert \mathbf{p}(t+1) - \mathbf{p}(t) \right\rVert \geq 100

    "많이"라는 표현의 경계를 명확하게 만들 수 있다.

    물론 이것은 두 시점 사이의 변위의 크기만 측정한 것이다. 해당 시간 동안 실제로 이동한 총거리를 정의하려면 중간 시점들의 이동 거리까지 합산해야 한다.

    질병과 같은 개념도 비슷하게 생각해 볼 수 있다.

    "소라가 방광염에 걸렸다."

    먼저 방광염에 걸린 고양이들의 상태를 나타내는 집합을 BB라고 정의해 보자. 각 고양이의 상태는 하나의 nn차원 벡터로 나타낼 수 있다.

    x=(x1,x2,…,xn)∈Rn\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n

    예를 들어 벡터의 각 성분 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n은 특정 검사 수치, 혈액 수치, 소변 검사 수치 등 질병을 판단하기 위해 사용하는 측정값을 나타낼 수 있다.

    그리고 단순화하여 방광염을 판별하는 조건이 x1≥20x_1 \geq 20, x2≥500x_2 \geq 500, …\dots라고 가정한다면, 방광염에 해당하는 상태들의 집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.

    B={x∈Rn∣x1≥20,  x2≥500,  … }B = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid x_1 \geq 20,\; x_2 \geq 500,\; \dots \right\}

    이때 소라의 상태 벡터를 s\mathbf{s}라고 하면, "소라가 방광염에 걸렸다"라는 자연어 명제는 다음 명제로 바꿀 수 있다.

    s∈B\mathbf{s} \in B

    즉 자연어로 표현된 현상을 엄밀하게 다루기 위해서는 먼저 "가깝다", "많이 움직였다", "방광염에 걸렸다"와 같은 개념의 경계를 정의하고, 그 정의를 좌표, 거리, 벡터, 집합 등의 수학적 대상으로 모델링할 수 있다.

    이렇게 함으로써 자연어가 가지고 있는 모호함을 줄이고, 어떤 조건에서 해당 명제가 참인지 거짓인지 보다 명확하게 판단할 수 있다.

수학적 사고

  1. 수학적 사고란 ?

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  2. 수학적 모델링을 위한 절차표

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